为什么我们在信息安全中使用组、环和字段?

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群、环和域是称为抽象代数或现代代数的数学分支的重要元素。在抽象代数中,它涉及到其元素上的集合,并且可以代数运算;也就是说,它可以组合集合的两个元素,也许有多种方式,它可以获得集合的第三个元素。

团体

组 (G) 由 {G,∙} 表示。它是一组具有满足四个属性的二元运算'∙'的元素。Group 的属性如下:

  • 闭包- 如果 a 和 b 是 G 的元素,因此 c = a ∙ b 也是集合 G 的一个元素。这可以定义对集合中的任何两个元素使用操作的结果是集合中的另一个元素。

  • 关联性 - 如果 a、b 和 c 是 G 的元素,因此 (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c),意味着它没有实质内容,它可以使用高于两个元素的操作。

  • Identity - 对于 G 中的所有 a,在 G 中出现一个元素 e,包括 e ∙ a = a ∙ e = a。

  • Inverse - 对于 G 中的每个 a,都会出现一个元素 a',称为 a 的倒数,使得 a ∙ a' = a' ∙ a = e。

一个群是一个阿贝尔群,如果它满足以下四个性质和一个额外的交换性性质。

交换性- 对于 G 中的所有 a 和 b,我们有 a ∙ b = b ∙ a。

Ring - 环 R 由 {R, +, x} 表示。它是一组具有两个二元运算的元素,称为加法和乘法,包括对于 R 中的所有 a、b、c,保留以下公理 -

  • R是关于加法的阿贝尔群,即R满足性质A1至A5。在加法群的方法中,将单位元表示为0,a的逆表示为-a。

  • (M1):乘法下的闭包- 如果和 b 属于 R,那么 ab 也在 R 中。

  • a(bc)(M2): R 中所有 a, b, c的乘法结合性− =(ab)c。

  • (M3):分配法-

       对于 R 中的所有 a、b、c,a(b+c)=ab + ac

       (a+b)c=ac+bc 对于 R 中的所有 a、b、c

  • (M4): 乘法交换- ab=ba 对于 R 中的所有 a, b。

  • (M5):乘法恒等式- R 中有一个元素 1,包括 R 中所有 a 的 a1=1a。

  • (M6):无零因数- 如果 R 中的 a、b 和 ab = 0,则 a = 0 或 b = 0。

字段- 字段 F 由 {F, +, x} 表示。它是一组元素,具有两个称为加法和乘法的二元运算,包括对于 F 中的所有 a、b、c,保留以下公理 -

  • F1 是一个整数域,其中 F 满足公理 A1 到 A5 和 M1 到 M6。

  • (M7):乘法逆- 对于 F 中的每个 a,除了 0,F 中有一个元素 a -1使得 aa -1 = (a -1 )a=1。

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